一、時域和頻域

時域是瞬息萬變的，頻域是亙古不變的。

傅里葉先是在他那個年代有了一個十分超前的想法，所有波都是不同的幅度、頻率、相位的正弦波組成的，這在當時，包括他的老師都是持反對意見的，理由很簡單，你拿線條圓滑的正弦給我組個線條筆直的方波、三角波看看。

然后傅里葉就整了一個傅里葉變換（以下簡稱FT）出來，證明方波、三角波至少在數學上就是可以用正弦波組合出來，但是當時沒有什么物理上的證明。

隨著歐洲工業革命的興起，特別是近幾十年來圖像處理技術的登峰造極，現在人們早已經不是去證明其真偽，而是借助這把工具來處理形形色色的應用。這么說吧，FT是處理“波”的，而“波”就是一種信號，所以只要涉及到信號這個層面的內容，FT都可以發揮一定的作用。

FT的本質，是時域的周期性連續信號可以在頻域上由不同頻率和幅度的正弦波的疊加，我們通過下面這張圖來說明一下這個問題。比如一個方波被不同數量、不同頻率和不同幅度多疊加后對比可以讓我們很初步的認識FT。

不同數量疊加后的效果

第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x）；

第二幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)；

第三幅圖是4個發春的正弦波的疊加；

第四幅圖是10個便秘的正弦波的疊加。

不是看到了正弦波數量越多，疊加后的波形越來越符合原方波。那么，如果是無限個正弦波進行疊加呢？

二、歐拉公式

直截了當，不管你記得不記得，我先把歐拉公式擺出來吧。

虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什么呢?

這里有一條數軸，在數軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以3的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了180度。

我們知道乘-1其實就是乘了兩次i使線段旋轉了180度，那么乘一次i呢——答案很簡單—旋轉了90度。

同時，我們獲得了一個垂直的虛數軸。實數軸與虛數軸共同構成了一個復數的平面，也稱復平面。這樣我們就了解到，乘虛數i的一個功能—旋轉。

實數軸和虛數軸

在學習復變函數之前，我們接觸到都是實數；復變函數是向虛數進行了延伸，而歐拉公式是這種延伸的橋梁。不單單是FT，它還在很多領域發揮了關鍵的作用。

三、FT的本質

上面提到了FT的本質，下面這樣圖就是把時域和頻域放在一個大坐標系里進行說明。那么，FT的公式，就是變成了求得這些不同幅度的正弦的幅值。因為它們的頻率是基于原時域波形而有規律的變化，所以頻率是已知的。同時還有個為了符合原波形的幅度而引出的直流分量。求得了這些，也就是完成了整個的FT。

FT的本質

FT公式：

其中C就是上面提到的直流分量，an和bn就是不同頻率的正弦的幅度。

最后需要說明的是，FT是DFT和FFT的基礎，只要先把FT的本質掌握了，后面兩者只是對FT的具體應用和實現的形式。